线性回归可以说是机器学习中最基本的问题类型了，这里就对线性回归的原理和算法做一个小结。
1. 线性回归的模型函数和损失函数
线性回归遇到的问题一般是这样的。我们有m个样本，每个样本对应于n维特征和一个结果输出，如下：
$(x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, …x_n^{(0)}, y_0), (x_1^{(1)}, x_2^{(1)}, …x_n^{(1)},y_1), … (x_1^{(m)}, x_2^{(m)}, …x_n^{(m)}, y_n)$
我们的问题是，对于一个新的$(x_1^{(x)}, x_2^{(x)}, …x_n^{(x)})$, 他所对应的$y_x$是多少呢？ 如果这个问题里面的y是连续的，则是一个回归问题，否则是一个分类问题。
对于n维特征的样本数据，如果我们决定使用线性回归，那么对应的模型是这样的：
$h_\theta(x_1, x_2, …x_n) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + … + \theta_{n}x_{n}$, 其中$\theta_i (i = 0,1,2… n)$为模型参数，$x_i (i = 0,1,2… n)$为每个样本的n个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征$x_0 = 1$ ，这样$h_\theta(x_0, x_1, …x_n) = \sum\limits_{i=0}^{n}\theta_{i}x_{i}$。
进一步用矩阵形式表达更加简洁如下：
$h_\mathbf{\theta}(\mathbf{X}) = \mathbf{X\theta}$
其中， 假设函数$h_\mathbf{\theta}(\mathbf{X})$为mx1的向量,$\mathbf{\theta}$为nx1的向量，里面有n个代数法的模型参数。$\mathbf{X}$为mxn维的矩阵。m代表样本的个数，n代表样本的特征数。
得到了模型，我们需要求出需要的损失函数，一般线性回归我们用均方误差作为损失函数。损失函数的代数法表示如下：
$J(\theta_0, \theta_1…, \theta_n) = \sum\limits_{i=0}^{m}(h_\theta(x_0, x_1, …x_n) - y_i)^2$
进一步用矩阵形式表达损失函数：
$J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})$
由于矩阵法表达比较的简洁，后面我们将统一采用矩阵方式表达模型函数和损失函数。
2. 线性回归的算法
对于线性回归的损失函数$J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})$，我们常用的有两种方法来求损失函数最小化时候的$\mathbf{\theta}$参数：一种是梯度下降法，一种是最小二乘法。由于已经在其它篇中单独介绍了梯度下降法和最小二乘法，可以点链接到对应的文章链接去阅读。
如果采用梯度下降法，则$\mathbf{\theta}$的迭代公式是这样的：
$\mathbf\theta= \mathbf\theta - \alpha\mathbf{X}^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})$
通过若干次迭代后，我们可以得到最终的$\mathbf{\theta}$的结果
如果采用最小二乘法，则$\mathbf{\theta}$的结果公式如下：
$\mathbf{\theta} = (\mathbf{X^{T}X})^{-1}\mathbf{X^{T}Y}$
当然线性回归，还有其他的常用算法，比如牛顿法和拟牛顿法，这里不详细描述。
3.线性回归的推广：多项式回归
回到我们开始的线性模型，$h_\theta(x_1, x_2, …x_n) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + … + \theta_{n}x_{n}$, 如果这里不仅仅是x的一次方，比如增加二次方，那么模型就变成了多项式回归。这里写一个只有两个特征的p次方多项式回归的模型：
$ h_\theta(x_1, x_2) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + \theta_{2}x_{2} + \theta_{3}x_1^{2} + \theta_{4}x_2^{2} + \theta_{5}x_{1}x_2$
我们令$x_0 = 1, x_1 = x_1, x_2 = x_2, x_3 =x_1^{2}, x_4 = x_2^{2}, x_5 = x_{1}x_2$ ,这样我们就得到了下式：
$h_\theta(x_1, x_2) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + \theta_{2}x_{2} + \theta_{3}x_3 + \theta_{4}x_4 + \theta_{5}x_5$
可以发现，我们又重新回到了线性回归，这是一个五元线性回归，可以用线性回归的方法来完成算法。对于每个二元样本特征$(x_1,x_2)$,我们得到一个五元样本特征$(1, x_1, x_2, x_{1}^2, x_{2}^2, x_{1}x_2)$，通过这个改进的五元样本特征，我们重新把不是线性回归的函数变回线性回归。
4.线性回归的推广：广义线性回归
在上一节的线性回归的推广中，我们对样本特征端做了推广，这里我们对于特征y做推广。比如我们的输出$\mathbf{Y}$不满足和$\mathbf{X}$的线性关系，但是$ln\mathbf{Y} $和$\mathbf{X}$满足线性关系，模型函数如下：
$ln\mathbf{Y} = \mathbf{X\theta}$
这样对与每个样本的输入y，我们用 lny去对应， 从而仍然可以用线性回归的算法去处理这个问题。我们把 Iny一般化，假设这个函数是单调可微函数$\mathbf{g}(.)$,则一般化的广义线性回归形式是：
$\mathbf{g}(\mathbf{Y}) = \mathbf{X\theta} $或者 $\mathbf{Y} = \mathbf{g^{-1}}(\mathbf{X\theta}) $
这个函数$\mathbf{g}(.)$我们通常称为联系函数。
5.线性回归的正则化
为了防止模型的过拟合，我们在建立线性模型的时候经常需要加入正则化项。一般有L1正则化和L2正则化。
线性回归的L1正则化通常称为Lasso回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L1正则化的项，L1正则化的项有一个常数系数$\alpha$来调节损失函数的均方差项和正则化项的权重，具体Lasso回归的损失函数表达式如下: \(J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2n}(\mathbf{X\theta} -\mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y}) + \alpha||\theta||_1\) 其中n为样本个数，$\alpha$为常数系数，需要进行调优。$||\theta||_1$为L1范数。
Lasso回归可以使得一些特征的系数变小，甚至还是一些绝对值较小的系数直接变为0。增强模型的泛化能力。
Lasso回归的求解办法一般有坐标轴下降法（coordinate descent）和最小角回归法（ Least Angle Regression），由于它们比较复杂，在这篇文章单独讲述： 线程回归的正则化-Lasso回归小结
线性回归的L2正则化通常称为Ridge回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L2正则化的项，和Lasso回归的区别是Ridge回归的正则化项是L2范数，而Lasso回归的正则化项是L1范数。具体Ridge回归的损失函数表达式如下：
\(J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y}) + \frac{1}{2}\alpha||\theta||_2^2\) 其中$\alpha$为常数系数，需要进行调优。 $||\theta||_2$为L2范数。
Ridge回归（岭回归）在不抛弃任何一个特征的情况下，缩小了回归系数，使得模型相对而言比较的稳定，但和Lasso回归比，这会使得模型的特征留的特别多，模型解释性差。
Ridge回归的求解比较简单，一般用最小二乘法。这里给出用最小二乘法的矩阵推导形式，和普通线性回归类似。
令$J(\mathbf\theta)$的导数为0，得到下式：
$\mathbf{X^T(X\theta - Y) + \alpha\theta} = 0$
整理即可得到最后的$\theta$的结果：
$\mathbf{\theta = (X^TX + \alpha E)^{-1}X^TY}$
其中E为单位矩阵。
除了上面这两种常见的线性回归正则化，还有一些其他的线性回归正则化算法，区别主要就在于正则化项的不同，和损失函数的优化方式不同，这里就不累述了。
6. 进一步思考
- 为什么线性回归是无偏估计，而ridge是有偏估计
答：一般基于最小二乘法的回归都是无偏估计。这是因为：
\[\begin{align*} θ' &= (X^TX)^{-1}X^TY \\ &= (X^TX)^{-1}X^T(Xθ + U) \\ &= (X^TX)^{-1}X^TXθ + (X^TX)^{-1}X^TU \\ &= θ + (X^TX)^{-1}X^TU \end{align*}\]两边取期望有：
$E(θ’) = θ + (X^TX)^{-1}X^TE(U) = θ$
由于最小二乘法的残差符合正态分布，所以这里$E(U) = 0$
而Ridge回归
\[\begin{align*} θ' &= (X^TX+\alpha E)^{-1}X^TY \\ &= (X^TX+\alpha E)^{-1}X^T(Xθ + U) \\ &= (X^TX+\alpha E)^{-1}X^TXθ + (X^TX+\alpha E)^{-1}X^TU \end{align*}\]两边取期望有：
$E(θ’) = (X^TX+\alpha E)^{-1}X^TXθ$不等于θ
参考文献：https://www.cnblogs.com/pinard/p/6004041.html